线性方程组通解怎么求

发布网友 发布时间：2022-04-22 04:53

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热心网友 时间：2023-06-26 03:21

矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

关于未知量是一次的方程组，其一般形式为

式中x1，x2，…，xn代表未知量，αij(1≤i≤m,1≤j≤n)称为方程⑴的系数，bi(1≤i≤m)称为常数项。系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。

当常数项b1，b2，…，bn都等于零时，则方程组⑴称为齐次线性方程组。

方程组⑴的系数所构成的m行n列矩阵

称为方程组⑴的系数矩阵。在A中添加由常数项组成的列而得到一个m行n+1列矩阵称为方程组⑴的增广矩阵。

程组⑴中，以一组复数或域F的元素с1,с2，…，сn代替未知量x1，x2，…，xn，每一个方程的两端相等，那么с1，с2，…，сn称为方程组⑴的一个解。

关于线性方程组，有以下主要结果。

①线性方程组⑴有解的充分必要条件是，系数矩阵A与增广矩阵都有相同的秩。

②在A与都有相同的秩r>0的情形下，A有一个r阶子式D不等于零，设于是方程组⑴与仅含有前r个方程的方程组同解。可将前r个方程改写为方程组⑵的一般解公式为 x1=D1/D,x2=D2/D，…，xr=Dr/D， ⑶

式中Dj(j=1,2，…，r)是把D的第j列换成方程组⑵的右端的列所得到的一个r阶行列式，即

当r<n时，则任意给自由未知量的一组值，由⑶可求出x1，x2，…，xr的值即方程组⑴的一个解，此时方程组⑴的解不只一个。当r=n时，则方程组⑵不含自由未知量，由⑶给出方程组⑴的唯一解。当m=n=r时，公式⑶称为克莱姆规则。