如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),与x轴交于A、B两点(点A在点B左 ...

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解答:解:根据题意可得
(1)y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3;

(2)解方程-x2+2x+3=0得
x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),
∴OA=1,OC=3,OB=3,
∴BC=32,
∴tan∠ACO?sin∠BCO=13×332=26;

(3)①当△BPO∽△BAC时,有
BP:OB=BA:CB,
∴BP=22,
过点P作PG⊥x轴,交x轴于点G,
∵PG∥OC,
∴△BPG∽△BCO,
∴PG:OC=BP:BC,
∴PG=2,
在Rt△BPG中,BG=2,∴OG=1,
∴P点坐标是(1,2),
②当△BPO∽△BCA时,同理可求P(34,94);

(4)存在,理由是:
利用对称性原理:求出C点的对称点N(2,3),
过B、N作直线,交对称轴于点P,
设直线BN的方程是y=ax+b,那么
3a+b=02a+b=3,
解得y=-3x+9,
当x=1时,y=6,
故P点坐标是(1,6).

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