讨论级数 ∑x∧n/n∧s(s>0)的敛散性,包括绝对收敛、条件收敛和...

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后项比前项的绝对值的极限=|x| 故收敛半径R=1,|x|<1绝对收敛;

x=1时:s>1绝对收敛,0<s≤1发散;

x=-1, 由于1/n^s单减趋于0,由莱布尼兹判别法,级数条件收敛;

当|a|<1时收敛:这可由根式判别法直接得到;

当|a|>1时收敛:这可由根式判别法直接得到;

当a=1时,这是一个p---级数,即当s>1时收敛,当s≤1 时发散;

当a= - 1时,利用莱布尼茨判别法:即当s>0时收敛,当s≤0时发散;

a(n+1)/a(n)

=(a^(n+1)/(n+1)^s)/(a^n/n^s)

=a/(n+1)→0<1

根据比值判敛法,级数收敛。

扩展资料:

令{}为一个数列,且A为一个固定的实数,如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N,使得对于任意n>N,有|-A|<b恒成立,就称数列{}收敛于A(极限为A),即数列{}为收敛数列。

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

参考资料来源:百度百科-收敛

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后项比前项的绝对值的极限=|x| 故收敛半径R=1,|x|<1绝对收敛
x=1时:s>1绝对收敛,0<s≤1发散
x=-1, 由于1/n^s单减趋于0,由莱布尼兹判别法,级数条件收敛

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