压缩映射原理(张宇1000题中两道题目的反思)
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证明式子收敛，首先需要确定其界。在数学归纳法中，准确估计界是关键，等价于找到公式
[公式]
的上界。通过观察公式，我们可以发现它单调递增，只需证明存在上界。相邻两项关系为
[公式]
当[公式]时，不难验证收敛成立。当[公式]时，假设[公式]，通过递推可得[公式]。为证明收敛，直接取[公式]即可。
利用压缩映射原理，定义[公式]，对于任意[公式]，有
[公式]
令[公式]，则[公式]，表明[公式]是一个压缩映射。在完备空间中，不动点即为极限点。虽然这里不详细证明压缩映射原理，但理解其核心有助于解决此类问题。
张宇1000题中的问题涉及到数列极限。考虑数列[公式]，满足[公式]，[公式]，其中[公式]。需证明[公式]收敛并求极限值。
方法一，使用单调有界准则。根据[公式]，数列有界，且[公式]单调递增，[公式]单调递减。在[公式]上，数列递增且恒小于等于[公式]，从而收敛于[公式]。
方法二，结合压缩映射原理。首先，确定数列的界，考察压缩映射性质。已知[公式]，故只需验证
[公式]
是否满足压缩映射条件。计算导数，[公式]，利用Lagrange中值定理，得到[公式]。进一步分析，若[公式]满足条件，则表明存在不动点。
压缩映射定理在完备度量空间上的应用，表明在完备空间中，压缩映射有且仅有一个不动点。证明过程涉及Cauchy列的收敛性以及连续函数的性质。
压缩映射的不动点即为其极限点，直观解释了压缩映射定理。图示化证明有助于理解该原理。
有趣的是，地图缩小再印在原地图中的问题，展示了压缩映射在实际中的应用。感兴趣的同学可自行搜索。
