关于辛普森法则(Simpson’s Rule)中系数的简单推导
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辛普森法则为计算定积分提供了一种有效方法。它利用抛物线近似曲边，简化积分计算。理解该法则需要掌握几大关键点：
首先，辛普森法则的表达式为：∫f(x)dx ≈ (b - a)/6 * [f(a) + 4f((a + b)/2) + f(b)]，其中，a、b为积分区间两端点。
其次，若函数f(x)为奇函数，即f(-x) = -f(x)，则可简化计算过程。这是因为奇函数关于原点对称，积分区间若关于原点对称，则奇函数的定积分值为0。此特性适用于简化计算。
辛普森法则将积分区间分段，假设区间[a, b]被分为n个等分，每相邻两分段间计算时，将两边区域对称放置于y轴两侧进行计算，如图所示。具体过程如下：
积分区间被划分后，相邻两分段的计算公式为：∫f(x)dx ≈ (b - a)/6 * [f(a) + 4f((a + b)/2) + f(b)]。将n个分段的计算结果叠加，即可得到最终近似值。
计算时，将每个分段的权重设为1, 4, 1，以此类推，形成1, 4, 2, 4..., 1这样的权重序列。此权重序列通过叠加多个区域得到，准确反映了各分段对最终结果的贡献。
综上，辛普森法则通过巧妙的抛物线近似和权重分配，简化了定积分的计算过程，提高了计算效率。利用奇函数的特性简化计算，进一步优化了计算效果。这一法则在实际应用中展现出强大优势，是数值积分领域的重要工具。
