数学前n项和公式有哪些?
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发布时间：2022-04-24 05:31
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时间：2022-06-14 17:07
(一)1.等差数列{an}:
通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
an=ak+(n-k)d ak为第k项数
若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
2.等差数列前n项和:
设等差数列{an}的前n项和为Sn
即 Sn=a1+a2+...+an;
那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
(二)1.等比数列{an}:
通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
an=a1*q^(n-1,am=a1*q^(m-1))
则an/am=q^(n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
(3)若m+n=p+q 则 am*an=ap+aq
2.等比数列前n项和{an}
设 a1,a2,a3...an构成等比数列
前n项和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推倒的,这时可能要直接从基本公式推倒过去,所以希望你这个公式也要理解)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
注: q不等于1;
Sn=na1 注:q=1
求和一般有以下4个方法: 1,不完全归纳法 2 累乘法 3 错位求和法
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时间：2022-06-14 17:07
很多数列的前n项和都可以计算。掌握一些基本的求和方法，可以自己推导出好多公式，不用死记。
像最一般的等差、等比数列可以简单计算。相关的求和公式要掌握，因为还有不少数列可以化成等差等比数列进行求和。
实在记不住这两个求和公式的话，那么花些心思自己学习一下他们公式的推导过程，以便以后忘了公式还可以自己推。等差求和的原理是逆序相加。等比可以用多项式除法推导，也可以左右同乘一个公比，再与原式相加解方程推导出来。
艳阳高照的午后 举的那些例子是很经典的。
比如他举的前三个就是简单的等差数列求和，有一般的公式，不用特意记。
再后两个是 n^k 求和。事实上任意 n^k 次方都有求和公式，是一个 n 的 k+1 阶多项式。只是 k 越大，公式越复杂。因为 k 阶的求和，可以用差分法化成 k-1 阶的，然后靠待定系数法可以换化成 k-1 阶的求和公式。最后再反解那个待定系数的方程，换回原数列的和。一般而言，这类公式里也就是 k=2 和 k=3 用到的比较多，即他列出的那两个。
最后一个是如此推导的：n(n+1) = n^2 + n。
所以整个数列的和就是 n^2 的求和再加上 n 的求和。这两个公式再上面已经出现过了，是：n(n+1)(2n+1)/6 和 n(n+1)/2。通分加一下即是最后答案：n(n+1)(n+2)/3。
求和还有一类比较经典的是裂项法。
因为 1/n(n+k) = 1/k * (1/n - 1/(n+1))，所以像：
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... 1/n(n+1) = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/n - 1/(n+1) = 1 - 1/(n+1)
能求和的总之很多。不过也确实有一些无法写出前 n 项和公式的，其中最著名的是调和数列：1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。数学家对这个数列有很深入的研究，发现了它的很多有趣特性。可以证明它没有简单的求和公式。如果对调和级数感兴趣，可以再自己百度一下相关的资料。
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时间：2022-06-14 17:07
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
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时间：2022-06-14 17:08
等差数列：Sn=a1n+n(n-1)d/2
等比数列：1:q=1时;Sn=na1
2:q#1时;Sn=a1(1-q的n次方）/（1-q）
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时间：2022-06-14 17:09
等差数列:Sn=2/n(a1+an)或na1+2/n(n-1)*d
等比数列:(q不等于1） Sn=1-q/a1(1-q的n次方) 或Sn=1-q/a1-an*q
