怎样用向量法证线面平行
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定理1
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α
反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α
∵a∥b，∴A不在b上
在α内过A作c∥b，则a∩c=A
又∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，与a∩c=A矛盾。
∴假设不成立，a∥α
向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。
∵b⊂α
∴b⊥p，即p·b=0
∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb
那么p·a=p·kb=kp·b=0
即a⊥p
∴a∥α
定理2
平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求证：a∥α
证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。
假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC
∵B∈α，C∈α，b⊥α
∴b⊥BC，即∠ABC=90°
∵a⊥b，即∠BAC=90°
∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。
∴假设不成立，a∥α
扩展资料
法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。
计算
对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。
用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。
如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为
如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足 F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为
如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。
参考资料来源：百度百科-线面平行
参考资料来源：百度百科-法向量
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这条线的向量平行于平面内某一直线的向量就可以了，这比较常用，另外如果证明这条线的向量垂直于平面法向量且这条线不在平面内，那也可以证明。
①已知ABCD四点 A(x1，y1，z1)B(x2，y2，z2)C(x3，y3，z3)D(x4，y4，z4)；
AB向量=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)CD向量=(x4-x3，y4-y3，z4-z3)；
若(x4-x3)/(x2-x1)=(y4-y3)/(y2-y1)=(z4-z3)/(z2-z1)则AB∥CD。
②面α法向量为n向量=(x5，y5，z5)；
若n向量·AB向量=0即n向量⊥AB向量 (x2-x1)*x5+(y2-y1)*y5+(z2-z1)*z5=0，则AB平行于面α。
扩展资料：
如果证明线面垂直：找出面上两条不平行直线的向量m，n，已知直线的向量y与m，n分别相乘等于0即可。
待定系数法求出面的法向量（任找平面上两个不平行向量用待定系数法求出法向量），如果垂直于直线的方向向量则线面平行（相乘等于零）。
向量证明线面平行：求出面的法向量m，在将线的向量n与法向量m垂直(即二者相乘等于0)即可。
参考资料来源：百度百科——线面平行
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证明面的法向量和线正交，同时线不在面上。
对平面ax+by+cz+d = 0, 其法向量为(a,b,c).
对方向向量为(u,v,w)的直线，应该有(a,b,c)与(u,v,w)点积为0，即便au+bv+cw=0.
直线方向向量完全取决于直线的表达方式，如果是直线方程或参数方程那么方向向量可以直接知晓，如果是过A，B两点式，直接用A-B即可。
对线不在面上的问题，任取线上一点代入平面公式即可。
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这条线的向量平行于平面内某一直线的向量就可以了，这比较常用，另外如果证明这条线的向量垂直于平面法向量且这条线不在平面内，那也可以证明
