材料力学答案2

2-1 一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量

E0.10105MPa．如不计柱自重，试求：

（1） （2） （3） （4）

作轴力图；

各段柱横截面上的应力； 各段柱的纵向线应变； 柱的总变形．

解：

（1） 轴力图 （2） AC段应力

1001030.222601030.222.5106a2.5a

CB段应力

6.5106a6.5a

（3） AC段线应变 2.54 N- 图 2.5100.1105CB段线应变 6.56.5104 50.110（4） 总变形 2.51041.56.51041.51.35103m

2-2图(a)所示铆接件，板件的受力情况如图（ｂ）所示．已知：P＝7 kN，t＝0.15cm，b1＝0.4cm，b2=0.5cm，b3=0.6cml。试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。 解:

（1）轴力图

1 / 21

（2）11730.150.422732107106311.1a

0.150.52107106194.4a

7107106388.9a

0.150.62最大拉应力max3388.9a

32-3直径为１cm的圆杆，在拉力P＝10 kN的作用下，试求杆内最大剪应力，以及与横截面夹角为＝30o的斜截面上的正应力与剪应力。 解:

（1） 最大剪应力max21221076101063.66a 221d14（2） 30界面上的应力

31cos263.6695.49a

222sin263.66sin3055.13a

2-4图示结构中ABC与CD均为刚性梁，C与D均为铰接，铅垂力P＝20kN作用在C铰，若（1）杆的直径d1=1cm，（2）杆的直径d2=2cm，两杆的材料相同，E＝200Gpa，其他尺寸如图示，试求（1）两杆的应力；（2）C点的位移。 解

（1） 1杆的应力 (1)1d12442012107106254.6a

2杆的应力

(2)21d24222022107106127.3a

l1（2） C点的位移 (1)254.6l120010322.546103m0.2546cm

2 / 21

l2(2)20010c2210.509cm

l2127.3321.273103m0.1273cm

2-5某铣床工作台进给油缸如图示，缸内工作油压p2MPa，油缸内径D＝7.5cm，活塞杆直径d＝1.8cm.，已知活塞杆材料的许用应力50Mpa。试校核活塞杆的强度。 解

max22p1Dd41d242(7.521.82)21.832.7a

故安全

2-6 钢拉杆受轴向拉力P＝４０kN，杆材料的许用应力100MPa，杆的横截面为矩形，并且b＝2a，试确定a与b的尺寸。 解

40104cm2

100ab2a2

a21.414cmb2.828cm

2-7大功率低速柴油机的气缸盖螺栓如图示，螺栓承受预紧力P＝390 kN，材料的弹性模量E＝210Gpa，求螺栓的伸长变形。 解: ll1l39090802210.376mm 1242106727622-8 常用仓库搁架前后面用两根圆钢杆AB支持，其平面投影图如图示，估计搁架上的最大载重量为

oP＝10kN，假定合力P作用在搁板BC的中线上。已知45，杆材料的许用应力[]＝160 Mpa，试求所需圆钢杆的直径。

3 / 21

解

杆轴力 N113.536 22杆直径 D4N0.53cm

2-9 图示吊钩的上端为T110x2梯形螺纹，它的外径d＝110mm，内径d1=97 mm，其材料为20号钢，

许用应力[]=50 Mpa。试根据吊钩的直杆部分确定吊构所容许的最大起吊重量P。 解: d21102504410369.5

2-10 吊架结构的尺寸及受力情况如图示。水平梁AB为变形可忽略的粗刚梁，CA是钢杆，长l1＝2 m，横截面面积A1=2 cm2，弹性模量E１＝200Gpa；DB是钢杆，长l2＝１m，横截面面积A2=8cm2，弹性模量E2=100Gpa，试求：

（1）使刚性梁AB仍保持水平时，载荷P离DB杆的距离x；

（2）如使水平梁的竖向位移不超过0.2cm，则最大的P力应为多少? 解 （1）l113xl111l2133xl222

l1l2 x0.6m

4 / 21

(2) 31132002101200 xl10.622-11铰接的正方形结构如图所示，各杆材料皆为铸铁，许用拉应力[+]=400kg/cm2，许用压应力

[]=600kg/cm2，各杆的截面积均等于25cm2。试求结构的许用载荷P。 解:

AC、CB、BD、DA杆受拉力，大小为1DC杆受压力，大小为2

2

1 得124002514142kg

2 得26002515000kg

故 14142kg

2-12 图示拉杆沿斜截面m－n由两部分胶合而成，设在胶合面上许用拉应力[]＝100MPa，许用剪应力[]=50MPa，胶合面的强度控制杆件的拉力，试求：为使杆件承受最大拉力P，角的值应为多少？若横截面面积为4cm2，并规定60，试确定许可载荷P。 解:

（1） tg0500.5 10026.5时杆件承受最大拉力。

1004101160 22coscos602250141046.1 sin2sin120故许可载荷为46.1

（2） 2-13油缸盖与缸体采用６个螺栓连接．已知油缸内径D＝350 mrn，油压p＝１Mpa。若螺栓材料的许用应力[]=40 MPa，求螺栓的内径d． 解

4pD2

64d2

dpD2350222.59mm 66402-14 试确定轧钢机承压装置安全螺栓的直径d，当P＝6000kN时，螺

5 / 21

径即行断裂，其材料的强度极限b＝600 Mpa。各接触面间的摩擦力可不计。 解: 螺栓所受的拉力为 R 2d4R 2d4R26000107.98cm

6002-15木材试件（立方体222cm）在手压机内进行压缩。作用力 P＝400N，其方向垂直于杠杆OA，此杠杆可绕固定心轴o转动，在某一时刻，拉杆BC垂直于OB且平分 ECD角，∠CED＝

arctan(0.2)1120。杠杆长度OA＝lm，OB＝5cm，拉杆BC的直径dl＝1.0cm，CE杆与CD杆的直径相

同d2＝2.0cm。试求（1）此时拉杆BC，以及杆CD与CE内的应力；（2）木材的弹性模量E=10GPa，计算被压试件的缩短变形。 解:

（1） BC40018000 0.05BC400020396

sin11.31sin11.3112CDCE6 / 21

BCBC80004102101.9 1CD20396410264.9 222CDCE （2） 被压试件的缩短量

l2-16 设水平刚性杆AB不变形，拉杆CD的直径d=2cm，许用应力[]=160MPa，材料的弹性模量E

＝200GPa，在B端作用载荷P＝12kN．试校核CD杆的强度并计算B点的位移． 解:

l8000/0.221070.01cm 104CD122.53/234.64

CDCD434.64101110.3 4 故安全

lCDCDl110.30.635mm 200sin60232.51.833mm，方向向下。

B点的位移BlCD2-17设压入机体中的钢销子所受的连结力是沿着它的长度l平均分布的，为了拔出这个销子，在它的一端施加P＝20kN的力。已知销子截面积A＝2cm2,长度l=40cm，a=15 cm，E＝200GPa，试绘出杆的应力图和计算杆的伸长。 解: l部分应力沿x分布：

x20x103250xa(0xl) l240*当la时，2500.4100a 应力图为

1*l100(1520)1020.175mm

22007 / 21

*a2-18 试求下列各简单结构中节点A的位移，设各杆的抗拉压刚度均为EA。 解:

（a） AC杆受力为零，BA杆伸长为

lABl

coslAB2l sinsin2A点沿BA方向移动 A （b） AB杆受拉力为P，BC杆受拉力为P，BD杆受压力为2P

ABPLPLBDBCEAEA2P2L2PL

EAEA由几何关系，得B点位移 水平位移 BBC11212BD(12)PL EAPL EA垂直位移 BB故A点位移

21BD(122)水平位移 AB(121112)PL EA2)PL EA垂直位移ABAB2(12-19 水平刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，尺寸及悬挂方式如图示，E、F两处均为无摩阻力的小滑轮。若已知钢丝绳的横截面面积A=1.0cm2，弹性模量E=200GPa，铅垂载荷P=20kN作用于C点，试求C点的铅垂向位移。 解

钢丝绳的拉力为T，则 5T9T8P

8 / 21

T11.429

钢丝绳的伸长

lTl11.42981014.57mm EA200195BBl

B5l 148C点铅垂直位移为 CB2.61mm

52-20 图示空间简单桁架，三杆均由钢制成，杆A１C１与杆B１C１的截面积 A＝10cm2，C1D1杆的截面积

A=20GPa，弹性模量E＝200cm2，承受载荷P=150kN，试求各杆内的应力及节点Ｃ的位移。

解:

此结构为空间垂直结构 4NCDP5112NB1C1313NC1D15150187.5 43P 41315067.6 8NB1C1NA1C1各杆的应力为

C1D1187.51093.75a 2067.61067.60a 10A1C1B1C1各杆的伸长为

C1D193.7552.344mm 20067.60131.219mm

200A1C1B1C1C水平方向的位移为

3CHOC11.2191.014mm

13C垂直方向的位移为 CV53C1D1OC12.284mm 442-21 变宽度梯形平板的厚度t，受力及尺寸如图示，板材料的弹性模量E。试求板的伸长变形l。

解

取一微段dx，其宽为

bxbbx L

9 / 21

微段变形为

Pdx Ebt板的伸长为 l0LL0PdxPL 0.693bEbtEt(bLx)2-22竖直悬挂的圆截面锥形直杆，上端固定，下端自由，自由端直径为d，固定端直径为3d，材料的比重为。试求：

(1) 由于自重，截面y上的轴力FN=f1y； (2) y截面上的应力；f2y； (3) 最大轴力FNmax，最大应力max 解:

（1） 截面y的直径为 dy2dy h11hy截面以下体积为V(dy2yd2)

432轴力 NVd224h2(8y3h3)

（2） y截面上的应力N33(8yh) A24y2（3） 最大轴力、应力都在y1.5h处

13d2h13h Nmaxmax12272-23支架由AB和BC两杆组成，承受铅直载荷如图示。这两杆由同一材料制成，若水平杆BC的长度保持常数L，角随A点沿竖直方向移动而变化，AB杆的长度随A点的位置而定。设材料的拉伸许用应力与压缩许用应力相等，当这两杆受力均完全达到许用应力时，该结构具有最小重量，试求此时的角。 解:

NABPNBCPtg sin10 / 21

两杆同时达到许用应力时的截面积为

AABNABABCNBC

结构重量W为

W(AABLLP1ABCL)(ctg)

sincoscosdW0 得 54.73 d2-24 图示铰接正方形结构，各杆的横截面面积均为A1，材料的弹性模量均为E，试计算当载荷P作用时节点B、D间的相对位移。 解:

TABTBCTCDTDATBDP

P2

lABlBClCDlDA2Pa EAPa2EA

lBDB、D相对位移为

BD2lABlBDPa(22) EA2-25 钢制受拉杆件如图所示．横截面面积A＝2cm2，l＝5m，单位体积的重量为76.5kN/m3。如不计自重，试计算杆件的变形能U和比能u；如考虑自重影响，试计算杆件的变形能，并求比能的最大值。设E＝200Gpa。 解:

不计重力时，

P2l32251064m 变形能为U12EA22002比能为u1U164426.410/m 4Al251011 / 21

考虑自重时

P21(x)2 比能为u22E2EA变形能为Ul0udxP2/2EA20l1(x)2dx640.60964.609m 2E42当xl时，比能最大，为umax6.410N/m

2-26 电子秤的传感器是一空心圆筒，受轴向拉伸或压缩如图示，已知圆筒的外径D＝80mm，筒壁厚t＝9mm，在秤某一重物W时，测得筒壁产生的轴向应变47610，圆筒材料的弹性模量E＝210Gpa，问此物体W为多少重？并计算此传感器每产生23.810-6应变所代表的重量。 解:

ADt(809)92007.5mm2

6物体重WEA2102007.5476106200.7 WEA10 系统误差0.03

2-27 试求上题中薄圆筒在秤重物时的周向应变和径向应变r，已知材料的0.3。 解: 0.3476106142.8106

0.3476106142.8106

2-28 水平刚梁AB用四根刚度均为EA的杆吊住如图示，尺寸l、a、均为已知，在梁的中点C作用一力偶m(顺时外转向)，试求（1）各杆的内力，（2）刚梁AB的位移。 解: 1、4杆不受力 N2N3m aml aEAl2l3结点A、B的水平位移为 刚梁旋转角度 l3ml tgaEAtg2l2ml 2aaEA2-29 BC与DF为两相平行的粗刚杆，用杆（1）和杆（2）以铰相连接如图示，两杆的材料相同，弹性模

量为E，杆(1)的横截面为A，杆(2)的横截面２A，一对力P从x=0移动至x=a。试求两P力作用点之间的相对位移随x的变化规律。 解:

N1ax N2xN1N2P

12 / 21

xP解得 N1(1)PN2x

aal1N1lNll22 EAEA力作用点之间的相对位移为，则 l1x

l2l1axPl(l2l1)l12(3x24ax2a2) a2aEA2-30图示两端固定的等直杆件，受力及尺寸如图示。试计算其支反力，并画杆的轴力图。 解:

只计P时，有

1R1ARBPR1R1a A2aBEAEA只计2P时，有

22RARB2P22RAaRB2a

EAEA2R1ARARA且有

R1B2RBRB

联立，解得 RA54P(方向水平向左) RBP(方向水平向右) 33 （b）

RAlRlqlB0 EA2EAEARARBql解得 RA31q(方向水平向左) RBq(方向水平向右) 442-31图示钢杆，其横截面面积A１＝25cm2，弹性模量E＝210Gpa。加载前，杆与右壁的间隙＝0.33mm，

13 / 21

当P＝200kN时，试求杆在左、右端的支反力。 解:

RCRDP

RC1.5RD1.50.3103 EAEA解得 RC152.5（方向水平向左） RD47.5（方向水平向右）

2-32 两根材料不同但截面尺寸相同的杆件，同时固定联接于两端的刚性板上，且E1＞E2，若使两杆都为均匀拉伸，试求拉力P的偏心距e。 解: P1lPl2 E1AE2AP1P2P

解得 P1PE1PE2 P2E1E2E1E2b 2Pe(P1P2)ebE1E2

2E1E22-33 图示（1）与（2）两杆为同材料、等截面、等长度的钢杆，若取许用应力[]=150MPa，略去水平粗刚梁AB的变形，P50kN，试求两杆的截面积。 解: 1N112 21N2 2N1aN22aP3a0 N130N260

AN2601014cm2 1502-34 两杆结构其支承如图示，各杆的刚度EA相同，试求各杆的轴力。

14 / 21

解:

（a）N20

N1cos60PN12P

（b）N1N2cos30P

N1htg60N2h sin60EAcos60EAN10.606PN20.455P

2-35 图示（1）杆与（2）杆的刚度EA相同，水平刚梁AB的变形略去不计，试求两杆的内力。 解:

N1aN2sin452aP2a

l22l2

即 N12N22P N1N2

得 N1N20.828P

2-36 两刚性铸件，用螺栓1与2联接，相距20cm如图示。现欲移开两铸件，以便将长度为20.02cm、截面积A＝6cm2的铜杆3自由地安装在图示位置。已知E1＝E2＝200Gpa，试求（1）所需的拉力P；（2）力P去掉后，各杆的应力及长度。

15 / 21

解:

2lE1A120.02200/4103 (1) P31.4

l0.2 (2) 2N1N3

l1l20.02102 即

N1l1N3l30.02102 E1A1E3A3解得 N1N210.3N220.6 NN121131.1a3334.33a

A1A3l1NlN1l10.131mml3330.0687mm E1A1E3A3各杆的长度为

l1l220.0131mml320.01313mm

2-37图示三杆结构中，杆（1）是铸铁的，E1=120Gpa，[1]＝80MPa；杆（2）是铜的，EA＝100GPa，[2]＝60Gpa；杆（3）是钢的，EA＝200GPa，[3]=120Mpa。载荷P＝160kN，设A1：A2：A3=2：２：１，试确定各杆的截面积。 解:

各杆的应力关系为

N2sin30PN3 N2cos30N1将变形l1NlN1l1Nll222l333 E1A1E2A2E3A3代入几何关系l3l2csc30l1ctg30

联立解之得

N1197.6N2148.2N3148.2

2-38 图示结构由钢杆组成，各杆的截面面积相等，[]=160MPa，当P=100kN时，试求各杆的截面面积。 解:

杆3的支座反力为N 各杆的变形为 l1l2NaEAl3Na(NP)a EAEA16 / 21

代入 l1l3cos60 得N42.857KN

A3100xN3.57cm2

A1A24.68cm2

2-39刚性横梁由钢杆（1）、（2）、（3）支承，它们的面积相同为 A＝2cm2，长度L=1m，弹性模量E＝200GPa，若在制造时(3)杆比L短了＝0.08cm，试计算安装后（１）、（２）、（３）杆中的内力各为多少？ 解

N1N3N22N3

l2N22 l1N1l2x l1axx 2a 3xaa12.5 xxl3l22.5l2l3

2.5N2lN3l 其中 N22N3 EAEA5N3N3EA lN35.33KN （拉）

N15.33KN （拉） N210.66KN （压）

2-40 图示结构中的三角形板可视为刚性板。（1）杆材料为钢，A１＝10cm2，E1=200GPa，温度膨胀系数112.51016oC；（2）杆材料为铜，A2＝20cm2，E2=100GPa，216.51061oC。

当P＝20t，且温度升高20oC时，试求（1）、（2）杆的内力。

17 / 21

解：

MB0

2N14N22P 即N12N2P

l1l2 即l22l1 24lt2N2l2Nllt111 E2A2E1A1lt112.5106202500106 lt216.5106201330106

联解之，得

N184.56KN（压） N252.28KN（压）

2-41某结构如图所示，其中横梁ABC可看作刚体，由钢杆（1）、（2）支承，杆（1）的长度做短了l6o，两杆的截面积均为A＝2cm2，弹性模量E=200GPa，线膨胀系数12.5101C，3310试求（1）装配后各杆横截面上的应力；（2）装配后温度需要改变多少才能消除初应力。 解：

ya0.5， a26.565 N12lsinN2lsin45

2l2l1 sinsin45联解之，得N12.96KN

N237.56KN

114.8MPa

218.78MPa

18 / 21

2t2lt5l sinsin45当t59.628C时动应力为零。

2-42 图示为一个套有铜管的钢螺栓，已知螺栓的截面积A1＝6cm2，弹性模量El＝200GPa；钢套管的截面积A2=12cm2，弹性模量E2=100Gpa。螺栓的螺距3mm，长度l＝75cm，试求（１）当螺母拧紧转时，螺栓和铜管的轴力FN1和FN2；（2）螺母拧紧

1411转，再在两端加拉力P＝80kN，此时的轴力FN42；（3）在温度未变化前二者刚好接触不受力，然后温度上升t＝50oC，此时的轴力FN2。1和FN和FN已知钢和铜的线膨胀系数分别为112.5101 解：

（1） l1l26oC，216.51061oC。

n 4N1l1Nlh22 E1A1E2A24N1N2

N1h4llE1A1E2A260KN （拉）

N260KN （压）

（2）

80KN60KN 故钢管此时不受力

N180KN

'N20

（3）lt1lN1lt2lN2

'19 / 21

N1''21TE1A1EA111E2A210500N10.5KN （拉）

N2''10.5KN （压）

2-43刚性梁AB如图示，CD为钢圆杆，直径d＝２cm，E＝210Gpa。刚性梁B端支持在弹簧上，弹簧刚度K(引起单位变形所需的力)为40kN/cm，l=1m，P=10kN试求CD杆的内力和B端支承弹簧的反力。 解:

设CD杆伸长l，则弹簧压缩4l

NCDlCD34KllPl 443EAl34KlP 44l9.149103cm

CD杆的内力NCD6.036 弹簧反力NB1.464

2-44图示桁架，BC杆比设计原长l短了d，使杆B端与节点G强制地装配在一起，试计算各杆的轴力及节点C的位移，设各杆的抗拉（压）刚度均为EA。 解:

N2N4N5 N22N1cos30

Cl2GN2lN2l EAEAcos60l1N12lcos30N2N2l2lcos30C cos30EAcos302cos30EAcos30EAcos30N2lN2lN2l EAEAcos60EAcos3020 / 21

N2EA

4.155lEA

4.155lEA N1N37.197l C3.598N4N5N221 / 21