用叉乘求法向量

平面法向量的求法及其应用

一、 平面的法向量

1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n(x,y,1)[或

n(x,1,z)，或n(1,y,z)]，在平面内任找两个不共线的向量a,b。由n，得

na0且nb0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个x,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。AxByCzD0 (A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量n(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:向量。

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长

xyz把它化为一般式即可求出它的法1,称此方程为平面的截距式方程，

abc度等于|a||b|sin，（θ为,两者交角，且0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。

y1z1x1z1x1y1 设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:ab,, yzx2z2x2y222（注：1、二阶行列式:M

ac

bdD ） 1adcb；2、适合右手定则。A1 E z B1 C1 例1、 已知，a(2,1,0),b(1,2,1)， 试求（1）：ab;（2）：ba.

Key: (1) ab(1,2,5);(2)ba(1,2,5)

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，

D A x F C 图1-1 B y

key求平面AEF的一个法向量n。 :法向量nAFAE(1,2,2)

二、 平面法向量的应用

1、 求空间角

(1)、求线面角：如图2-1，设n是平面的法向量，

AB是平面的一条斜线，A，则AB与平面

所成的角为： 图2-1-1:B nB α A C 图2-1-1 n  C α A 图2-1-2 2n,ABnABarccos. 2|n||AB|图2-1-2:n,ABnAB arccos2|n||AB|2sin|cosn,AB|(2)、求面面角:设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：

β n β m n α  图2-2 m α  图2-3

m,narccosmn（图2-2）;

|m||n|m,narccosmn(图2-3)

|m||n|两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。 2、 求空间距离

（1）、异面直线之间距离:



方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量a、b， 求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量； ②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 B n A M N 图2-4 b a d|ABn||n|,其中na,nb,Aa,Bb

n B α A O （2）、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到 平面α的距离公式为d图2-5 |ABn||n|n

n A B a （3）、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线a与平面之间的距离：

α 图2-6 dABn|n|，其中A,Ba。n是平面的法向量

β n B

（4）、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面,之间的距离：

α A 图2-7 d|ABn||n|m，其中A,B。n是平面、的法向量。 α a a3、 证明

（1）、证明线面垂直：在图2-8中,m向是平面的法向量，a是

图2-8 a 直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ma）。 （2）、证明线面平行：在图2-9中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ma0）。 （3）、证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（mn0）

β

maα 图2-9 β nm图2-10 α nα m图2-11

（4）、证明面面平行：在图2-11中, m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（mn）。

三、高考真题新解

1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，

P M A M是PB的中点 B （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

D （Ⅱ）求AC与PB所成的角； 图3-1 C （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小 解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.

1DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，

2(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设平面PAD的法向量为mAPAD(0,1,0) 又DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)

mn0，mn，即平面PAD平面PCD。

ACPB10(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1)，AC,PBarccos arccos5|AC||PB|1(III).CM(1,0,)，CA(1,1,0)，设平在AMC的法向量为

211mCMCA(,,1).

2211又CB(1,1,0),设平面PCD的法向量为nCMCB(,,1).

22mn2m,narccosarccos().

3|m||n|22面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().[或arccos]

332、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分) 如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知AB＝AA1＝a，BC＝2a，M是AD的中点。

(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；

图

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1； (Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

(I).BC(2a,0,0),BA1(0,a,a),设平面

A1BC的法向量为

nBCBA1(0,2a2,2a2)

又AD(2a,0,0),nAD0,ADn,即AD//平面A1BC.

22a,0,a),MA1(a,a,0),设平面A1MC的法向量为: (II).MC(22mMCMA1(a2,2222a,a), 22又BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设平面

A1BD1的法向量为:

nBD1BA1(0,2a2,2a2),

mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.

(III).设点A到平面AMC的距离为d,

1

mMCMA1(a2,2222a,a)是平面A1MC的法向量, 22又MA四、

(2|mMA|1a,0,0),A点到平面AMC的距离为:da. 22|m|1

用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

季节中的花开花落， 都有自己的命运与节奏，岁月如歌的谱曲与纳词，一定是你。人生不如意十之八九，有些东西，你越是在意，越会失去。一个人的生活，快乐与否，不是地位，不是财富，不是美貌，不是名气，而是心境。

有时候极度的委屈，想脆弱一下，想找个踏实的肩膀依靠，可是，人生沧海，那个踏实肩膀的人，也要食人间烟火，也要面对自己的不堪与无奈。岁月告诉我：当生活刁难，命运困苦，你的内心必需单枪匹马，沉着应战。

有时候真想躲起来，把手机关闭，断了所有的联系，可是，那又怎样，该面对的问题，依旧要面对。与其逃避，不如接纳；与其怨天尤人，不如积极主动去解决。岁月告诉我：美好的人生，一半要争，一半要随。

有时候想拼命的攀登，但总是力不从心。可是，每个人境况是不同的，不要拿别人的标准，来塑造自己的人生。太多的失望，太多的落空，纯属生活的常态。岁月告诉我：挫败，总会袭人，并且，让你承受，但也，负责让你成长。

人生漫长，却又苦短，幽长的路途充满险阻，谁不曾迷失，谁不曾茫然，谁不曾煎熬？

多少美好，毁在了一意孤行的偏执。好也罢，坏也罢，人生的路，必须自己走过，才能感觉脚上的泡和踏过的坑。因为懂得，知分寸；因为珍惜，懂进退。最重要的是，与世界言和，不再为难自己和别人。

《菜根谭》中说：花看半开，酒饮微醉。就是说，做事不必完美，享乐不可享尽，这是一种含苞待放的人生状态。即使是最美的月亮，也会有盈亏的自然之道。否则便是过犹不及，弄巧成拙。心灵松绑了，活着才自由。

半生已过，走走停停，看透了生活，选择了顺流的方式，行走。流水今日，明月前身。感谢每一粒种子，每一缕清风，每一个阳光的日子，于时光的碎屑中，静品一盏流年的香茗。

撕开浮云的遮掩，其实，每个人心中都有各自的山水，都有一段难捱的时光，好在，总有一天，你的淡然低调，你的暗自努力，你的理性豁达，终将点燃你的整个世界，让故事的结局，美好而温柔。

苏轼在《水调歌头》里写道：人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。是的，层次越高的人，越懂得，人生本就不是尽善尽美，也正因为有了缺憾，才显得是那么的多姿多彩。

心情平和，与是非渐行渐远，再多的兵荒马乱，也抵不过时光的洪流，唯有日常才惊天动地。夫切菜，妻拌菜，菜菜交缠，洒在热腾腾的面条上，剥头蒜就着，哧啦哧啦的，心里爽透了。这世间最美的，不就是这样的烟火么。

人生，是一个苏醒的过程。一首经典，低徊吟唱，年少不知歌者意， 再听已是曲中人。