求不定积分的方法及技巧小汇总

1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则

f[(x)]'(x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C

其中(x)可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：ln(x1)lnxdx

x(x1)111 x1xx(x1)【解】(ln(x1)lnx)'ln(x1)lnx12dx(ln(x1)lnx)d(ln(x1)lnx)(ln(x1)lnx)Cx(x1)2例2：1lnxdx (xlnx)2【解】(xlnx)'1lnx

1lnxdxlnx1dxx(x1)2(xlnx)2xlnxC

3.第二类换元法：

设x(t)是单调、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原

函数，则有换元公式

f(x)dxf[(t)]'(t)dt

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

(1)a2x2：xasint；xacost(2)x2a2：xatant；xacott；xasht (3)x2a2：xasect；xacsct；xachtn(4)naxb：axbt(5)naxbnaxb：tcxdcxd

1(6)当被积函数含有xmax2bxc，有时倒代换x也奏效。t4.分部积分法. 公式：dd

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：x3arccosx1x2dx

【解】观察被积函数，选取变换tarccosx,则

x3arccosx1x2cos3tdxt(sint)dttcos3tdt

sint132t(sint1)dsinttd(3sintsint)11tsin3tsint(sin3tsint)dt3311 tsin3tsint(sin2t1)dcost33121tsin3tsintcostcos3tC339121x3x(x22)1x2arccosxC933例4：arcsin2xdx 【解】

22arcsinxdxxsinxx2arcsinx11x2dx

xarcsinx2arcsinxd1x2xarcsinx21x2arcsinx1x2xarcsinx21x2arcsinx2xC21x2dx

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在dd中，、的选取有下面简单的规律：

(1)Pm(x)，eax,sinax,cosax(2)lnx,arctanx,arcsinx，Pm(x)(3)e，cosx,sinxax

(3)会出现循环，注意，选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：

（lnx arcsinx） Pm(x) （a^x sinx) μ ν 但是，当lnx，arcsinx时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式：

eaxI1esinbxdx2(asinbxbcosbx)Cab2 eaxaxI2ecosbxdx2(acosbxbsinbx)Cab2ax（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5.几种特殊类型函数的积分。 （1）有理函数的积分 有理函数

P(x)P*(x)P*(x)先化为多项式和真分式之和，再把分解Q(x)Q(x)Q(x)为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现

InIndx(a2x2)n时，记得用递推公式：

x2n3In1） 222n122a(n1)(xa)2a(n1)x6x44x22例5：dx 322x(x1)x6x44x22x6x44x22x4x22【解】 32x3(x21)2x(x1)2x3(x21)2x21x3(x21)2

x12dxln(x1)Cx212

4x224x222x2122x3(x21)2dxx4(x21)2xdxx4(x21)2dxx21(1)222(1)2d2(1)2d

11111()dCC2(1)21x2(x21)故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

x2tan2sinxx1tan22 万能公式：x1tan22cosx2x1tan2P(sinx,cosx)xdx可用变换ttan化为有理函数的积分，但由于计算较Q(sinx,cosx)2烦，应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成定系数

sinxcosx或。再用待cosxsinxA(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)来做。（注：没举例题并不代

acosxbsinx表不重要~）

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1x时，可令

xtan2t；同时出现

nt；同时出现x和1x时，可令xsi2x=sint；同时出现1x2和arccosx时，可令1x2和arcsxi时，可令nx=cost等等。