综合滚动练习:特殊的三角形
时间:45分钟 分数:100分 得分:________
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知一个等腰三角形底角的度数为80°,则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A.20° B.70° C.80° D.100°
2.已知等腰三角形的一边长为6,一个内角为60°,则它的周长是( ) A.12 B.15 C.18 D.20
3.如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是( ) A.AC=A′C′,BC=B′C′ B.∠A=∠A′,AB=A′B′ C.AC=A′C′,AB=A′B′ D.∠B=∠B′,BC=B′C′
第3题图 第4题图
4.如图,△ABC是等边三角形,P为BC上一点,在AC上取一点D,使AD=AP,且∠APD=70°,则∠PAB的度数是( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
5.如图,AD⊥BC,D是BC的中点,那么下列结论错误的是( ) A.△ABD≌△ACD B.∠B=∠C
C.△ABC是等腰三角形 D.△ABC是等边三角形
第5题图 第6题图
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5° 7.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为【方法1②】( )
A.40° B.36° C.30° D.25°
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第7题图 第8题图
8.★如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有( )
A.1个 B.2个 C.3个
D.3个以上
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,已知∠B=∠C,从①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE这三个等式中选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号).
第9题图 第11题图
10.若△ABC的三边a,b,c满足条件:a-3+b-4+c-5=0,则△ABC是________三角形.
11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则∠DAC+∠C=________°. 12.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°.折叠该纸片,使点C落在点E处,折痕为AD.若CD=3cm,则BD的长为________cm.
第12题图 第13题图
13.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M、N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM=________.
14.(2017·淄博中考)如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.
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三、解答题(共44分)
15.(8分)如图,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿CB方向走了20米,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小明计算出树的高度吗?
16.(10分)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.请判断AE与CF的位置关系,并说明理由.
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17.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,四边形的周长为32,求BC和CD的长.
18.★(14分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边△OCD,连接AD.
(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由; (2)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
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参考答案
1.A 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A 7.B 8.D 解析:如图,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,∴∠EOP=∠POF=60°.∵OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF是等边三角形,∴EP=OP,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN.在△PEM和△PON中,∠PEM=∠PON,
PE=PO,∴△PEM≌△PON,∴PM=PN.∵∠MPN=60°,∴△PNM是等边三角∠EPM=∠OPN,
形,∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选D.
9.①② 10.直角 11.90 12.6 13.3
14.23 解析:作AG⊥BC于G,连接AD.∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴111由勾股定理得AG=23.∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴AB·DE+AC·DF=BC·AG.∵AB=AC
222=BC=4,∴DE+DF=AG=23.
15.解:∵∠ADB=30°,∠ACB=15°,∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°,(3分)∴∠ACB1=∠CAD,∴AD=CD=20米.(6分)又∵∠ABD=90°,∠ADB=30°,∴AB=AD=10米,
2∴树的高度为10米.(8分)
16.解:AE⊥CF.(2分)理由如下:延长AE交FC于点G.∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.(4分)在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=CB,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),∴∠EAB=∠FCB.(7分)∵∠FCB+∠CFB=90°,∴∠EAB+∠AFC=90°,∴∠AGF=90°,∴AE⊥CF.(10分)
17.解:如图,连接BD.(2分)∵AB=AD,∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AD=8,∠1=60°.(5分)又∵∠1+∠2=150°,∴∠2=90°.(7分)设BC=x,∵四边形的周长为32,∴CD=32-AB-BC-AD=16-x.在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=BD2+CD2,即x2=82+(16-x)2,(10分)解得x=10,∴16-x=6,∴BC=10,CD=6.(12分)
18.解:(1)△AOD是直角三角形.(1分)理由如下:∵△ABC,△OCD是等边三角形,∴BC=AC,OC=CD,∠ACB=∠OCD=60°,∴∠BCO=∠ACD.在△BOC与△ADC中,OC=DC,
∠BCO=∠ACD,∴△BOC≌△ADC,(4分)∴∠ADC=∠BOC=α=150°,∴∠ADO=BC=AC,
∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,∴△AOD是直角三角形.(6分)
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(2)由(1)知△BOC≌△ADC,∴∠CBO=∠CAD.设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+d=60°,∴∠DAO=a+d=(a+b)+(c+d)-(b+c)=50°.由(1)可知∠ADC=∠BOC=α,∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°.(8分)△AOD为等腰三角形有以下三种情况:①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,∴180°-50°
=α-60°,∴α=125°;(10分)②OA=OD,则∠OAD=∠ADO,∴α2
180°-(α-60°)
-60°=50°,∴α=110°;(12分)③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,∴=50°,
2∴α=140°.综上所述,当α为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.(14分)
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