高考数学模拟复习试卷试题模拟卷14715

【考情解读】

1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【重点知识梳理】 a＋b

1．基本不等式ab≤2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． ba

(2)a＋b≥2(a，b同号)． (3)ab≤

a＋b2 (a，b∈R)． 2





a2＋b2a＋b

(4)2≥22 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数

a＋b

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4.(简记：和定积最大) 【高频考点突破】

考点一 利用基本不等式证明简单不等式 【例1】 已知x＞0，y＞0，z＞0.

yzxzxy求证：x＋xy＋yz＋z≥8. 

【规律方法】利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．

【变式探究】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 111求证：a＋b＋c≥9.

考点二 利用基本不等式求最值 【例2】 解答下列问题：

(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； (2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； 51

(3)已知x＜4，求f(x)＝4x－2＋的最大值；

4x－5

a

(4)已知函数f(x)＝4x＋x(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．

【规律方法】

(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．

【变式探究】

a

(1)设a＞0，若关于x的不等式x＋x≥4在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( ) A．4 B．2 C．16 D．1

5

(2)设0＜x＜2，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为______．

（x＋5）（x＋2）

(3)设x＞－1，则函数y＝的最小值为________．

x＋1

25

【答案】(1)A (2)2 (3)9 考点三 基本不等式的实际应用

【例3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/x2时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋360升，司机的工资是每小时14元． 

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

【规律方法】有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

【变式探究】 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系1

可近似地表示为y＝2x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

【真题感悟】

1.【高考湖南，文7】若实数a,b满足

12ab，则ab的最小值为( ) abA、2B、2 C、22 D、4 【答案】C

2.【高考重庆，文14】设a,b【答案】32

0,ab5,则a1+b+3的最大值为________.

3.【高考福建，文5】若直线A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C

xy1(a0,b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于（ ） ab

34

4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，a－b＋5

c的最小值为________．

【答案】－2

b5．（·山东卷）若ax2＋x的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 

6

【答案】2

6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )

A．80元 C．160元

B．120元 D．240元

【答案】C

7．(·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________．

【答案】7＋43

→→8．（·四川卷）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()

172

A．2 B．3 C.8 D.10 【答案】B

z

9．(高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()

99

A．0 B.8 C．2 D.4

【答案】C

10．（·重庆卷）（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为() 93 2A．9 B.2 C．3 D.2 【答案】B

【押题专练】

ab

1．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“b＋a≥2”成立的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

14

2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是 7A.2

B．4

9C.2

D．5

( )

【答案】C

3．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是 4A.3

5B.3

C．2

5 D.4

( )

【答案】C

11

4．已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋a，n＝a＋b，则m＋n的最小值是 ( ) A．3

B．4

C．5

D．6

【答案】B

11

5．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则x＋y的最大值为 A．2

3B.2

C．1

1 D.2

( )

【答案】C

xy212

6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当z取得最大值时，x＋y－z的最大值为 ( ) A．0

B．1

9C.4

D．3

【答案】B

7．已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

【答案】6

8．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； 11

(2)求x＋y的最小值．

9．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．

(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)

10．函数f(x)＝lg

x31

，若f(a)＋f(b)＝0，则a＋b的最小值为________． 2－x

【答案】2＋3

11．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为

80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

高考模拟复习

试卷试题模拟卷

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆

一．基础题组

1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a的值等于( )

A．1 B． C．132 D．2 32.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________________．

3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线

mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.

4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数a,b,c成等差数列，点P(1,0)在动直线

l:axbyc0上的射影为M，点N(0,3)，则线段MN长度的最小值是．

二．能力题组

21.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线yx1在点（1，2）处的切线为l，则直线l上22的任意点P与圆xy4x30上的任意点Q之间的最近距离是（ ）

A.

45251 B.1 C.51 D.2 55222.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为xy14。若过点P1,交于A,B两点，圆心为C，则当ACB最小时，直线l的方程为。

1的直线l与此圆23.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O的半径为1,P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为_________.

三．拔高题组

1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点A(a,a)可作圆

x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为（ ）

A．a3或a1 C．3a1 或aB．a3 233 D．a3或1a

222.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射后与圆

(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）

A．53325443或B．或C．或D．或 352345343.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若P(x,y)是直线kxy40(k0)上一动点，

PA,PB是圆C:x2y22y0的两条切线，A,B是切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k（ ）

A. 3 B.

21 C. 22 D. 2 24.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l与抛物线x2=4y相交于A, B两点，与圆C：

x2(y5)2r2 (r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是

（ ）

A.（1，3) B. (1,4)C. (2, 3) D. (2, 4)

5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线

mxym30交于点P(x,y)，则|PA||PB|的最大值是

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】

sin α

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，cos α＝tanα；

π

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 【热点题型】

题型一 同角三角函数基本关系式及应用

2sin α－3cos α

【例1】 (1)已知tan α＝2，则＝_______________.

4sin α－9cos α(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝( ) 4534A．－3 B.4C．－4 D.5

【提分秘籍】

若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．

【举一反三】

1

若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )

cos2α＋2sin αcos α1052

A.3 B.3 C.3 D．－2

1

解析 3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－3， cos2α＋sin2α1＋tan2α1

＝＝

cos2α＋2sin αcos αcos2α＋2sin αcos α1＋2tan α

＝

11＋－3

21－3

210＝3.

答案 A

题型二 利用诱导公式化简三角函数式

【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°) ＝________．

2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则 3ππ1＋sin2α＋cos2＋α－sin22＋α



23π－f

6＝________．

解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°) sin(2×360°＋330°)

＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°

3

＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝2311

×2＋2×2＝1.

（－2sin α）（－cos α）＋cos α

(2)∵f(α)＝

1＋sin2α＋sin α－cos2α＝

2sin αcos α＋cos αcos α（1＋2sin α）1

＝＝tan α，

2sin2α＋sin αsin α（1＋2sin α）

1123π∴f－6＝＝23ππ tan－6tan－4π＋6



＝

π＝3. tan 6

1

答案 (1)1 (2)3 【提分秘籍】

利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．

【举一反三】

(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋ tan(－1 089°)tan(－540°)＝________．

3πtan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋2

(2)化简：＝________．

cos（－α－π）sin（－π－α）

题型三利用诱导公式求值

π1π【例3】 (1)已知sin3－α＝2，则cos6＋α＝______． 

3π5(2)已知tan6－α＝3，则tan6π＋α＝________．



πππ

解析 (1)∵3－α＋6＋α＝2，



ππππ1

∴cos6＋α＝cos2－3－α＝sin3－α＝2.

π5π5(2)∵6－α＋6＋α＝π，∴tan6π＋α＝ 

35π－tanπ－6π＋α＝－tan6－α＝－3. 13答案 (1)2 (2)－3 【提分秘籍】

ππππππ

巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有3－α与6＋α；3＋α与6－α；4＋α与4－π2ππ3π

α等，常见的互补关系有3＋θ与3－θ；4＋θ与4－θ等．

【举一反三】

7π211π(1)已知sin12＋α＝3，则cosα－12＝________． 

1

(2)若tan(π＋α)＝－2，则tan(3π－α)＝________．

【高考风向标】

5，且为第四象限角，则tan的值等于（ ） 13121255A． B． C． D．

551212【高考福建，文6】若sin【答案】D

【解析】由sin512sin，且为第四象限角，则cos1sin2，则tan 1313cos5，故选D． 122【高考安徽，文16】已知函数f(x)(sinxcosx)cos2x （Ⅰ）求f(x)最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为12，最小值为0 【解析】

（Ⅰ）因为f(x)sinxcosx2sinxcosxcos2x1sin2xcos2x所以函数f(x)的最小正周期为T＝222sin(2x4)1

2＝. 22sin(2x（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，f(x)4)1

5[,]

24445由正弦函数ysinx在[,]上的图象知，

44当x[0,] 时，2x当2x4285当2x，即x时，f(x)取最小值0.

444综上，f(x)在[0,，即x时，f(x)取最大值21；

2]上的最大值为21，最小值为0.

【高考四川，文19】已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋3px－p＋1＝0(p∈R)两个实根.

(Ⅰ)求C的大小

(Ⅱ)若AB＝1，AC＝6，求p的值

【解析】(Ⅰ)由已知，方程x2＋3px－p＋1＝0的判别式 △＝(3p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0 所以p≤－2或p≥

2 3由韦达定理，有tanA＋tanB＝－3p，tanAtanB＝1－p 于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0 从而tan(A＋B)＝

tanAtanB3p3

1tanAtanBp所以tanC＝－tan(A＋B)＝3 所以C＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得

ACsinC6sin6002sinB＝

AB32解得B＝45°或B＝135°(舍去) 于是A＝180°－B－C＝75°

3tan45tan30323 则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝

1tan450tan300313001所以p＝－11(tanA＋tanB)＝－(2＋3＋1)＝－1－3 33(·福建卷) 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)． 5π(1)求f4的值；



(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1 π＝2sin2x＋4＋1.



5π11π(1)f4＝2sin4＋1

π

＝2sin4＋1 ＝2.

2π

(2)因为T＝2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π. πππ

由2kπ－2≤2x＋4≤2kπ＋2，k∈Z， 3ππ

得kπ－8≤x≤kπ＋8，k∈Z.

3ππ所以f(x)的单调递增区间为kπ－8，kπ＋8，k∈Z.



(·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 【答案】C 【解析】

2sin αcos α2tan α

因为sin 2α＝＝>0，所以选C.

sin2α＋cos2α1＋tan2α

6π

(·山东卷) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝3，B＝A＋2. (1)求b的值； (2)求△ABC的面积．

π3π(2)由B＝A＋2得cos B＝cosA＋2＝－sin A＝－3.

由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)， 所以sin C＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B)

＝sin Acos B＋cos Asin B 3663

＝3×－＋3×3

3

1＝3.

11132

因此△ABC的面积S＝2absin C＝2×3×32×3＝2.

5

(·全国卷) 已知α是第二象限角，sin α＝13，则cos α＝( ) 125512A．－13 B．－13 C.13 D.13 【答案】A

12

【解析】cos α＝－1－sin2 α＝－13.

π

(·四川卷) 设sin 2α＝－sin α，α∈2，π，则tan 2α的值是________． 【答案】3

【高考押题】

1.1－2sin（π＋2）cos（π－2）＝( ) A．sin 2－cos 2

B．sin 2＋cos 2

C．±(sin 2－cos 2) 解析

D．cos 2－sin 2

1－2sin（π＋2）cos（π－2）＝1－2sin 2cos 2

＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A

5

2．已知sin α＝5，则sin4α－cos4α的值为( ) 1A．－5 1C.5

3B．－5

3D.5

23

解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝5－1＝－5. 答案 B

π

3．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－3，则sin α等于( ) 3

A．－2

3B.2

1C．－2

1D.2

π

解析 因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋2(k∈Z)． π5π1

又β＝－3，所以α＝2kπ＋6(k∈Z)，即得sin α＝2. 答案 D

π3π4．已知sin2＋α＝5，α∈0，2，则sin(π＋α)＝( ) 

3

A.5 4C.5

3B．－5 4D．－5

344π3π解析 由已知sin2＋α＝5，得cos α＝5，∵α∈0，2，∴sin α＝5，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－5.

答案 D

π1π5．已知sinα－4＝3，则cos4＋α＝( )









22

A.3

22B．－3

1 C.3

1D．－3

πππ解析 ∵cos4＋α＝sin2－4＋α



1ππ＝sin4－α＝－sinα－4＝－3.

答案 D

136．如果sin(π＋A)＝2，那么cos2π－A的值是________．



11解析 ∵sin(π＋A)＝2，∴－sin A＝2. 13∴cos2π－A＝－sin A＝2.

1答案 2

445－7．sin 3π·cos 6π·tan3π的值是________． ππππ＋π－－π－解析 原式＝sincostan3 3·6·πππ＝－sin 3·－cos 6·－tan 3



＝－

3333

×－×(－3)＝－4. 22

33

答案 －4

π5π2π8．已知cos6－θ＝a(|a|≤1)，则cos6＋θ＋sin3－θ的值是________． 

4π

9．已知sin θ＝5，2＜θ＜π. (1)求tan θ的值；

sin2θ＋2sin θcos θ(2)求的值．

3sin2θ＋cos2θ

9

解 (1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝25. π3sin θ4又2＜θ＜π，∴cos θ＝－5.∴tan θ＝cos θ＝－3. sin2θ＋2sin θcos θtan2θ＋2tan θ8

(2)由(1)知，＝＝－57.

3sin2θ＋cos2θ3tan2θ＋1 1

10．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝5. (1)求sin Acos A的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值． 1

解 (1)∵sin A＋cos A＝5，

①

1

∴两边平方得1＋2sin Acos A＝25， 12

∴sin Acos A＝－25，

12

(2)由sin Acos A＝－25＜0，且0＜A＜π，

可知cos A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形． 2449

(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋25＝25， 又sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0， 7

∴sin A－cos A＝5，

②

43

∴由①，②可得sin A＝5，cos A＝－5，

45sin A4

∴tan A＝cos A＝3＝－3.高考模拟复习试卷试题模拟卷

－5